Google Android - это несложно

В программе у меня создается адаптер для моего listview при подключении к интернету. Можно ли как-то сохранить адаптер, до следующего подключения к интернету?

Сам адаптер сохранять не стоит.

Если вы получаете ответ с сервера в виде текста, можно кешировать этот текст в преференсах. И если нет интернета, имитировать ответ с сервера, подсунув строку из преференсов. Если все сделать правильно, не будет ни какой разницы между запросом в интернет и чтением из кеша.

А еще можно записать ArrayList в файл, но это чуть по сложнее.